10. Решите неравенство

Решение:

Сначала вычислим значения тригонометрических функций:

• \( \sin^2 \frac{\pi}{4} + \cos^2 \frac{\pi}{4} = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = 1 \)
• \( \sin \frac{3\pi}{2} = -1 \)
• \( \cos(\pi) = -1 \)
• \( \sin \frac{5\pi}{2} = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \)

Подставим эти значения в неравенство:

\[ \frac{1 \cdot x^2 - (-1) + (-1) \cdot x + 1}{1 x^2 + (-1) + (-1) x + 1} 0 \]

Упростим числитель и знаменатель:

Числитель: \( x^2 + 1 - x + 1 = x^2 - x + 2 \)

Знаменатель: \( x^2 - 1 - x + 1 = x^2 - x \)

Получаем неравенство:

\[ \frac{x^2 - x + 2}{x^2 - x} 0 \]

Рассмотрим числитель \( x^2 - x + 2 \). Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 \). Так как \( D < 0 \) и коэффициент при \( x^2 \) положителен, то \( x^2 - x + 2 > 0 \) для всех \( x \).

Значит, знак неравенства зависит от знаменателя \( x^2 - x \).

\[ x^2 - x > 0 \]

\[ x(x - 1) > 0 \]

Решения этого неравенства: \( x < 0 \) или \( x > 1 \).

Ответ: \( x < 0 \) или \( x > 1 \).