5. Упростите выражение. 5.1. \((\sin\alpha-\cos\alpha)^2+\sin 2\alpha\); 5.2. \(\frac{(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)}{\sin\alpha}\); 5.3. \(\frac{1}{ g\alpha}+\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}\); 5.4. \(\frac{1-2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}+\cos\alpha\).

5.1. Используем формулу квадрата разности и тождество \(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\):

\((\sin\alpha-\cos\alpha)^2+\sin 2\alpha=\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha=1.\)

5.2. По формуле разности квадратов и тождеству \(1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha\):

\(\frac{(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)}{\sin\alpha}=\frac{1-\cos^2\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha}=\sin\alpha.\)

5.3. Преобразуем первое слагаемое и рационализуем второе:

\(\frac{1}{ g\alpha}+\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}+\frac{\sin\alpha(1-\cos\alpha)}{1-\cos^2\alpha}=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}+\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{1}{\sin\alpha}.\)

5.4. В числителе используем \(1-2\sin\alpha\cos\alpha=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha\):

\(\frac{1-2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}+\cos\alpha=\frac{(\sin\alpha-\cos\alpha)^2}{\sin\alpha-\cos\alpha}+\cos\alpha=\sin\alpha-\cos\alpha+\cos\alpha=\sin\alpha.\)

Ответ: 5.1) 1; 5.2) \(\sin\alpha\); 5.3) \(\frac{1}{\sin\alpha}\); 5.4) \(\sin\alpha\).