5. Упростите выражение: \( \frac{3x^2+4x}{x^2-2x} - \frac{2x+7}{x} + \frac{x+8}{x-2} \)

Решение:

Вынесем общий множитель в знаменателях:

\( x^2 - 2x = x(x - 2) \)

Общий знаменатель будет \( x(x - 2) \).

Приведем все дроби к общему знаменателю:

\( \frac{3x^2+4x}{x(x-2)} - \frac{(2x+7)(x-2)}{x(x-2)} + \frac{(x+8)x}{x(x-2)} \)

Теперь раскроем скобки в числителях:

\( 3x^2 + 4x - (2x^2 - 4x + 7x - 14) + (x^2 + 8x) \)

\( 3x^2 + 4x - (2x^2 + 3x - 14) + x^2 + 8x \)

\( 3x^2 + 4x - 2x^2 - 3x + 14 + x^2 + 8x \)

Приведем подобные слагаемые:

\( (3x^2 - 2x^2 + x^2) + (4x - 3x + 8x) + 14 \)

\( 2x^2 + 9x + 14 \)

Знаменатель: \( x(x-2) \).

Полученное выражение: \( \frac{2x^2+9x+14}{x(x-2)} \)

Ответ: \( \frac{2x^2+9x+14}{x(x-2)} \).