5. Упростите выражение $$(\frac{6}{y^2 - 9} + \frac{1}{3 - y}) \cdot \frac{y^2 + 6y + 9}{5}$$

Задание 5. Упрощение выражения

Чтобы упростить выражение, сначала приведем дроби в скобках к общему знаменателю. Обратим внимание, что \( y^2 - 9 = (y-3)(y+3) \) и \( 3 - y = -(y-3) \).

Первое слагаемое в скобках: \( \frac{6}{y^2 - 9} = \frac{6}{(y-3)(y+3)} \).

Второе слагаемое в скобках: \( \frac{1}{3 - y} = \frac{1}{-(y-3)} = -\frac{1}{y-3} \).

Чтобы привести ко второму знаменателю \( (y-3)(y+3) \), домножим числитель и знаменатель на \( (y+3) \):

\( -\frac{1}{y-3} = -\frac{1 · (y+3)}{(y-3) · (y+3)} = -\frac{y+3}{(y-3)(y+3)} \).

Теперь сложим дроби в скобках:

\[ \frac{6}{(y-3)(y+3)} - \frac{y+3}{(y-3)(y+3)} = \frac{6 - (y+3)}{(y-3)(y+3)} = \frac{6 - y - 3}{(y-3)(y+3)} = \frac{3 - y}{(y-3)(y+3)} \]

Заметим, что \( 3 - y = -(y-3) \). Тогда:

\[ \frac{-(y-3)}{(y-3)(y+3)} = -\frac{1}{y+3} \]

Теперь умножим полученный результат на вторую дробь:

\[ -\frac{1}{y+3} \cdot \frac{y^2 + 6y + 9}{5} \]

Разложим числитель \( y^2 + 6y + 9 \) как полный квадрат: \( y^2 + 6y + 9 = (y+3)^2 \).

Итак, выражение становится:

\[ -\frac{1}{y+3} \cdot \frac{(y+3)^2}{5} \]

Сократим \( (y+3) \):

\[ -\frac{1}{\cancel{y+3}} \cdot \frac{(y+3)^{\cancel{2}}}{5} = -\frac{y+3}{5} \]

Можно также записать как \( -\frac{y}{5} - \frac{3}{5} \).

Ответ: $$-\frac{y+3}{5}$$