6. Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой, находящийся на расстоянии 560 км. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 1 ч раньше второго. Определите скорость каждого автомобиля.

Задание 6. Скорость автомобилей

Дано:

• Расстояние: \( S = 560 \) км.
• Разница в скорости: \( v_1 = v_2 + 10 \) км/ч.
• Разница во времени: \( t_2 = t_1 + 1 \) ч.

Найти: скорость первого \( v_1 \) и второго \( v_2 \) автомобилей.

Решение:

Пусть \( v_2 \) — скорость второго автомобиля (в км/ч). Тогда скорость первого автомобиля \( v_1 = v_2 + 10 \) (в км/ч).

Время в пути для первого автомобиля: \( t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{560}{v_2 + 10} \) (в часах).

Время в пути для второго автомобиля: \( t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{560}{v_2} \) (в часах).

По условию, первый автомобиль приезжает на 1 час раньше второго, значит, \( t_2 = t_1 + 1 \).

Подставим выражения для времени:

\[ \frac{560}{v_2} = \frac{560}{v_2 + 10} + 1 \]

Перенесем \( \frac{560}{v_2 + 10} \) в левую часть:

\[ \frac{560}{v_2} - \frac{560}{v_2 + 10} = 1 \]

Приведем к общему знаменателю \( v_2(v_2 + 10) \):

\[ \frac{560(v_2 + 10) - 560v_2}{v_2(v_2 + 10)} = 1 \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ \frac{560v_2 + 5600 - 560v_2}{v_2^2 + 10v_2} = 1 \]

\[ \frac{5600}{v_2^2 + 10v_2} = 1 \]

Умножим обе части на \( v_2^2 + 10v_2 \):

\[ 5600 = v_2^2 + 10v_2 \]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ v_2^2 + 10v_2 - 5600 = 0 \]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5600) = 100 + 22400 = 22500 \]

Найдем \( \sqrt{D} \): \( \sqrt{22500} = 150 \).

Найдем корни уравнения:

\[ v_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ v_{2,1} = \frac{-10 + 150}{2 \cdot 1} = \frac{140}{2} = 70 \]

\[ v_{2,2} = \frac{-10 - 150}{2 \cdot 1} = \frac{-160}{2} = -80 \]

Так как скорость не может быть отрицательной, берем положительный корень: \( v_2 = 70 \) км/ч.

Теперь найдем скорость первого автомобиля:

\[ v_1 = v_2 + 10 = 70 + 10 = 80 \] км/ч.

Проверка:

Время первого автомобиля: \( t_1 = \frac{560}{80} = 7 \) часов.

Время второго автомобиля: \( t_2 = \frac{560}{70} = 8 \) часов.

Разница во времени: \( 8 - 7 = 1 \) час. Условие задачи выполнено.

Ответ: Скорость первого автомобиля 80 км/ч, скорость второго автомобиля 70 км/ч.