6. Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой, находящийся на расстоянии 560 км. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 1 ч раньше второго. Определите скорость каждого автомобиля.

Решение:

Пусть \( v_2 \) — скорость второго автомобиля (км/ч).

Тогда скорость первого автомобиля \( v_1 = v_2 + 10 \) (км/ч).

Расстояние \( S = 560 \) км.

Время в пути второго автомобиля \( t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{560}{v_2} \) (ч).

Время в пути первого автомобиля \( t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{560}{v_2+10} \) (ч).

По условию, первый автомобиль приезжает на 1 час раньше, значит \( t_2 - t_1 = 1 \).

\( \frac{560}{v_2} - \frac{560}{v_2+10} = 1 \)

Умножим обе части на \( v_2(v_2+10) \):

\( 560(v_2+10) - 560v_2 = v_2(v_2+10) \)

\( 560v_2 + 5600 - 560v_2 = v_2^2 + 10v_2 \)

\( 5600 = v_2^2 + 10v_2 \)

\( v_2^2 + 10v_2 - 5600 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\[ D = 10^2 - 4(1)(-5600) = 100 + 22400 = 22500 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{22500} = 150 \]

Найдем \( v_2 \):

\[ v_2 = \frac{-10 + 150}{2} = \frac{140}{2} = 70 \]

Скорость второго автомобиля \( v_2 = 70 \) км/ч.

Скорость первого автомобиля \( v_1 = v_2 + 10 = 70 + 10 = 80 \) км/ч.

Проверка: \( t_2 = \frac{560}{70} = 8 \) ч, \( t_1 = \frac{560}{80} = 7 \) ч. \( 8 - 7 = 1 \) ч.

Ответ: Скорость первого автомобиля 80 км/ч, скорость второго автомобиля 70 км/ч.