5. Упростите выражения: a) \(\frac{\sin(\frac{\pi}{2} - t) \cdot \text{tg}(-t)}{\cos(\frac{\pi}{2} + t)}\) б) \(1 - \frac{\sin 2x \cdot \cos x}{2 \sin x}\)

Решение:

а) \(\frac{\sin(\frac{\pi}{2} - t) \cdot \text{tg}(-t)}{\cos(\frac{\pi}{2} + t)}\)

Используем формулы приведения:

• \(\sin(\frac{\pi}{2} - t) = \cos t\)
• \(\text{tg}(-t) = -\text{tg} t\)
• \(\cos(\frac{\pi}{2} + t) = -\sin t\)

Подставляем:

\(\frac{\cos t \cdot (-\text{tg} t)}{-\sin t} = \frac{\cos t \cdot (-\frac{\sin t}{\cos t})}{-\sin t} = \frac{-\sin t}{-\sin t} = 1\)

б) \(1 - \frac{\sin 2x \cdot \cos x}{2 \sin x}\)

Используем формулу синуса двойного угла: \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\).

Подставляем:

\(1 - \frac{(2 \sin x \cos x) \cdot \cos x}{2 \sin x} = 1 - \frac{2 \sin x \cos^2 x}{2 \sin x} = 1 - \cos^2 x = \sin^2 x\)

Ответ: а) 1; б) \(\sin^2 x\).