6. Решите уравнение: \(3^{x+3} + 3^x = 5 \cdot 2^{x+4} - 17 \cdot 2^x\).

Решение:

Перепишем уравнение, вынося общие множители:

\(3^x \cdot 3^3 + 3^x = 5 \cdot 2^x \cdot 2^4 - 17 \cdot 2^x\)

\(3^x (27 + 1) = 2^x (5 \cdot 16 - 17)\)

\(3^x \cdot 28 = 2^x (80 - 17)\)

\(3^x \cdot 28 = 2^x \cdot 63\)

Разделим обе части на \(2^x\) (так как \(2^x \neq 0\)) и на 28:

\(\frac{3^x}{2^x} = \frac{63}{28}\)

\((\frac{3}{2})^x = \frac{9}{4}\)

\((\frac{3}{2})^x = (\frac{3}{2})^2\)

Приравниваем показатели степеней:

\(x = 2\)

Ответ: x = 2.