9. а) Решите уравнение 36^(sin 2x) = 6^(2 sin x) б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7π/2; -5π/2].

9. Решение уравнения:

1. а) \( 36^{\sin 2x} = 6^{2 \sin x} \)

   Представим \( 36 \) как \( 6^2 \):

   \( (6^2)^{\sin 2x} = 6^{2 \sin x} \)

   \( 6^{2 \sin 2x} = 6^{2 \sin x} \)

   Приравниваем показатели степени:

   \( 2 \sin 2x = 2 \sin x \)

   \( \sin 2x = \sin x \)

   Используем формулу двойного угла \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \):

   \( 2 \sin x \cos x = \sin x \)

   Перенесём всё в одну часть:

   \( 2 \sin x \cos x - \sin x = 0 \)

   Вынесем \( \sin x \) за скобки:

   \( \sin x (2 \cos x - 1) = 0 \)

   Это даёт два случая:

   • \( \sin x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z} \).
   • \( 2 \cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \).
2. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \( [-\frac{7\pi}{2}; -\frac{5\pi}{2}] \).

   Отрезок \( [-\frac{7\pi}{2}; -\frac{5\pi}{2}] \) соответствует \( [-3.5\pi; -2.5\pi] \).

   Проверим корни из первой серии \( x = \pi k \):

   • \( k = -3 \): \( x = -3\pi \). Это значение находится в отрезке \( [-3.5\pi; -2.5\pi] \).
   • \( k = -4 \): \( x = -4\pi \). Меньше \( -3.5\pi \).
   • \( k = -2 \): \( x = -2\pi \). Больше \( -2.5\pi \).

   Проверим корни из второй серии \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \):

   • \( n = -1 \): \( x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = \frac{\pi - 6\pi}{3} = -\frac{5\pi}{3} \). \( -\frac{5\pi}{3} \approx -1.67\pi \). Это значение больше \( -2.5\pi \).
   • \( n = -2 \): \( x = \frac{\pi}{3} - 4\pi = \frac{\pi - 12\pi}{3} = -\frac{11\pi}{3} \). \( -\frac{11\pi}{3} \approx -3.67\pi \). Это значение меньше \( -3.5\pi \).

   Проверим корни из третьей серии \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \):

   • \( n = -1 \): \( x = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = \frac{-\pi - 6\pi}{3} = -\frac{7\pi}{3} \). \( -\frac{7\pi}{3} \approx -2.33\pi \). Это значение находится в отрезке \( [-3.5\pi; -2.5\pi] \).
   • \( n = -2 \): \( x = -\frac{\pi}{3} - 4\pi = \frac{-\pi - 12\pi}{3} = -\frac{13\pi}{3} \). \( -\frac{13\pi}{3} \approx -4.33\pi \). Это значение меньше \( -3.5\pi \).

   Итак, в указанном отрезке лежат корни \( -3\pi \) и \( -\frac{7\pi}{3} \).

Ответ: а) \( x = \pi k \) или \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, k, n \in \mathbb{Z} \); б) \( -3\pi; -\frac{7\pi}{3} \).