5. В четырехугольнике ABCД: AB=СД, ∠АВД = 40°, ∠СДВ = 40°. Докажите, что ABCД — параллелограмм.

Рассмотрим треугольники ABD и CDB.

1. AB = CD — по условию.
2. BD = DB — общая сторона.
3. ∠ABD = ∠CDB = 40° — по условию; это углы между соответствующими парами указанных сторон.

Значит, треугольники ABD и CDB равны по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует ∠ADB = ∠CBD. Это накрест лежащие углы при прямых AD и BC и секущей DB, поэтому AD ∥ BC. Также ∠ABD = ∠CDB — накрест лежащие углы при прямых AB и CD и секущей BD, поэтому AB ∥ CD.

В четырехугольнике обе пары противоположных сторон параллельны, следовательно, ABCД — параллелограмм.