5. В четырёхугольнике ABCD: AB = CD, ∠ABD = 40°, ∠CDB = 40°. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

Рассмотрим треугольники ABD и CDB. В них AB = CD по условию, BD — общая сторона, ∠ABD = ∠CDB = 40°.

Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства соответствующих углов получаем ∠ADB = ∠CBD. Это накрест лежащие углы при прямых AD и BC и секущей DB, значит AD ∥ BC.

Кроме того, ∠ABD = ∠CDB — накрест лежащие углы при прямых AB и CD и секущей BD, значит AB ∥ CD.

У четырёхугольника обе пары противоположных сторон параллельны, следовательно, ABCD — параллелограмм.