5. В группе учатся 15 студентов, из них 12 человек сдали зачёт по истории и 8 сдали зачёт по русскому языку. Укажите номера всех истинных утверждений. 1) Менее 11 студентов из этой группы сдали зачёты и по истории, и по русскому языку. 2) Каждый студент этой группы сдал оба зачёта. 3) Хотя бы 5 студентов из этой группы сдали зачёты и по истории, и по русскому языку. 4) В этой группе найдётся 4 студента, не сдавших ни одного из этих двух зачётов.

Обозначим число студентов, сдавших оба зачёта, через x. По принципу включения-исключения: всего сдали хотя бы один зачёт 12 + 8 − x студентов. Это число не больше 15, поэтому x ≥ 5. Также x ≤ 8, поскольку русский зачёт сдали 8 студентов.

1. Истинно: x ≤ 8, значит, оба зачёта сдали менее 11 студентов.
2. Ложно: оба зачёта могли сдать не более 8 студентов, а в группе 15 человек.
3. Истинно: x ≥ 5.
4. Ложно: число не сдавших ни одного зачёта равно 15 − (12 + 8 − x) = x − 5 и может быть от 0 до 3, но не 4.

Ответ: 1, 3.