5. В группе учатся 20 студентов, из них 15 человек сдали зачёт по истории и 10 — по русскому языку. Укажите номера всех истинных утверждений. 1) Хотя бы 5 студентов из этой группы сдали зачёты и по истории, и по русскому языку. 2) В этой группе найдётся 6 студентов, не сдавших ни одного из этих двух зачётов. 3) Менее 11 студентов из этой группы сдали зачёты и по истории, и по русскому языку. 4) В этой группе найдётся 10 студентов, которые не сдали зачёт по истории, но сдали зачёт по русскому языку.

Обозначим через x число студентов, сдавших оба зачёта. По принципу включения-исключения: x не меньше 15 + 10 − 20 = 5 и не больше 10. Значит, 5 ≤ x ≤ 10.

1. Истинно: оба зачёта сдали как минимум 5 студентов.
2. Ложно: число сдавших хотя бы один зачёт равно 15 + 10 − x, поэтому число не сдавших ни одного равно 20 − (25 − x) = x − 5, то есть не больше 5.
3. Истинно: оба зачёта сдали не более 10 человек, а значит, меньше 11.
4. Ложно: сдали русский, но не историю, 10 − x студентов; это число не больше 5, а не 10.

Ответ: 1, 3.