5. В группе учатся 25 студентов, из них 18 человек сдали зачёт по истории и 12 сдали зачёт по английскому языку. Укажите номера всех истинных утверждений. 1) Менее 13 студентов из этой группы сдали зачёты и по истории, и по английскому языку. 2) В этой группе найдётся 12 студентов, которые не сдали зачёт по истории, но сдали зачёт по английскому языку. 3) Если студент этой группы сдал зачёт по истории, то он сдал и зачёт по английскому языку. 4) Хотя бы 5 студентов из этой группы сдали зачёты и по истории, и по английскому языку.

Обозначим через H сдавших историю, через A — сдавших английский. По принципу включения-исключения число сдавших оба зачёта не меньше \(18+12-25=5\), а не больше 12.

1. Утверждение «менее 13» истинно: пересечение не больше 12.
2. Вне H могут быть не более \(25-18=7\) студентов, поэтому 12 студентов, сдавших только английский, быть не может. Ложно.
3. Из данных не следует, что каждый сдавший историю сдал английский. Например, как минимум 6 студентов могли сдать историю, но не английский. Ложно.
4. Истинно: оба зачёта сдали как минимум 5 студентов.

Ответ: 1, 4.