5. В группе учится 15 студентов, из них 12 человек сдали зачёт по истории и 8 сдали зачёт по русскому языку. Укажите номера всех истинных утверждений. 1) Менее 11 студентов из этой группы сдали зачёты и по истории, и по русскому языку. 2) Каждый студент этой группы сдал оба зачёта. 3) Хотя бы 5 студентов из этой группы сдали зачёты и по истории, и по русскому языку. 4) В этой группе найдётся 4 студента, не сдавших ни одного из этих двух зачётов.

Пусть оба зачёта сдали \(x\) студентов. Тогда по формуле включений и исключений:

\(x \ge 12+8-15=5\), а также \(x\le 8\).

1. \(x\le 8<11\), утверждение истинно.
2. Не каждый студент сдал оба зачёта: таких студентов не более 8, утверждение ложно.
3. \(x\ge 5\), утверждение истинно.
4. Число студентов, не сдавших ни одного зачёта, не обязано быть равным 4; оно может быть не более 3, утверждение ложно.

Ответ: 1, 3.