5. В группе учится 20 студентов, из них 15 человек сдали зачёт по истории и 10 сдали зачёт по русскому языку. Укажите номера всех истинных утверждений. 1) Хотя бы 5 студентов из этой группы сдали зачёты и по истории, и по русскому языку. 2) В этой группе найдётся 6 студентов, не сдавших ни одного из этих двух зачётов. 3) Менее 11 студентов из этой группы сдали зачёты и по истории, и по русскому языку. 4) В этой группе найдётся 10 студентов, которые не сдали зачёт по истории, но сдали зачёт по русскому языку.

Обозначим через H множество сдавших историю, а через R — множество сдавших русский язык.

1. Минимальное число сдавших оба зачёта: \(15+10-20=5\). Утверждение истинно.
2. Число не сдавших ни одного зачёта не обязано быть равным 6: оно может быть от 0 до 5. Утверждение ложно.
3. Число сдавших оба зачёта не превышает 10, значит, оно меньше 11. Утверждение истинно.
4. Все 10 сдавших русский могли также сдать историю, поэтому наличие 10 студентов, сдавших только русский язык, не гарантировано. Утверждение ложно.

Ответ: 1, 3.