5. В группе учится 30 студентов, из них 20 человек сдали зачёт по истории и 15 — по русскому языку. Укажите номера всех истинных утверждений. 1) Менее 16 студентов из этой группы сдали зачёты и по истории, и по русскому языку. 2) Хотя бы 5 студентов из этой группы сдали зачёты и по истории, и по русскому языку. 3) В этой группе найдётся 11 студентов, не сдавших ни одного из этих двух зачётов. 4) Если студент этой группы сдал зачёт по истории, то он сдал и зачёт по русскому языку.

Обозначим число студентов, сдавших оба зачёта, через x. По принципу включения-исключения: 20 + 15 − x ≤ 30, поэтому x ≥ 5. Также x ≤ 15, поскольку русский язык сдали 15 студентов.

1. Утверждение верно: x ≤ 15, значит, меньше 16 студентов сдали оба зачёта.
2. Утверждение верно: x ≥ 5.
3. Не сдали ни одного зачёта 30 − (20 + 15 − x) = x − 5 студентов. Это число может быть от 0 до 10, поэтому 11 таких студентов быть не может. Утверждение неверно.
4. Утверждение неверно: из данных не следует, что все сдавшие историю сдали русский язык; число сдавших оба зачёта может быть меньше 20.

Ответ: 1, 2.