5. В группе учится 30 студентов, из них 20 человек сдали зачёт по истории и 15 сдали зачёт по русскому языку. Укажите номера всех истинных утверждений. 1) Менее 16 студентов из этой группы сдали зачёты и по истории, и по русскому языку. 2) Хотя бы 5 студентов из этой группы сдали зачёты и по истории, и по русскому языку. 3) В этой группе найдётся 11 студентов, не сдавших ни одного из этих двух зачётов. 4) Если студент этой группы сдал зачёт по истории, то он сдал и зачёт по русскому языку.

Пусть через \(x\) обозначено число студентов, сдавших оба зачёта.

По формуле включений и исключений:

\(x \geq 20+15-30=5\), а также \(x\leq \min(20,15)=15\). Значит, \(5\leq x\leq 15\).

1. Утверждение истинно: \(x\leq 15\), поэтому студентов меньше 16.
2. Утверждение истинно: \(x\geq 5\).
3. Число студентов, не сдавших ни одного зачёта, может быть не более \(30-20=10\), поэтому 11 студентов найти нельзя.
4. Утверждение не следует из условия: не все сдавшие историю обязаны сдавать русский язык.

Ответ: 12