5. В классе 25 учащихся: 16 из них учат английский язык, 11 - немецкий. Каждый из учеников изучает хотя бы один язык. Сколько учащихся изучают оба языка?

Решение:

Это задача на нахождение пересечения множеств, когда известны объединение и отдельные множества.

• Общее количество учащихся в классе (объединение): 25.
• Количество учащихся, изучающих английский язык (A): 16.
• Количество учащихся, изучающих немецкий язык (H): 11.

1. Находим, сколько учащихся НЕ изучают английский язык (то есть учат только немецкий):
   25 (всего) - 16 (английский) = 9 учащихся.
2. Находим, сколько учащихся НЕ изучают немецкий язык (то есть учат только английский):
   25 (всего) - 11 (немецкий) = 14 учащихся.
3. Находим, сколько учащихся изучают ОБА языка. Для этого нужно из общего числа учащихся вычесть тех, кто учит только один язык. Или, проще, из суммы изучающих оба языка вычесть общее количество учеников:
   16 (английский) + 11 (немецкий) = 27.
   27 (сумма) - 25 (всего) = 2 учащихся.

Другой способ решения:

• Мы знаем, что 9 учащихся учат только немецкий.
• Значит, количество учащихся, изучающих только английский: 25 (всего) - 9 (только немецкий) = 16 учащихся.
• Но мы знаем, что английский учат 16 человек. Если 16 человек учат только английский, то получается, что никто не учит оба языка. Это противоречие.
• Давай вернемся к первому способу, он более надежный.

Вернемся к третьему пункту первого способа:

• Пусть 'x' - количество учащихся, изучающих оба языка.
• Тогда количество учащихся, изучающих только английский = 16 - x.
• Количество учащихся, изучающих только немецкий = 11 - x.
• Общее число учащихся = (только английский) + (только немецкий) + (оба языка)
• 25 = (16 - x) + (11 - x) + x
• 25 = 16 - x + 11 - x + x
• 25 = 27 - x
• x = 27 - 25
• x = 2

Используя формулу включения-исключения:

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|
25 = 16 + 11 - |A ∩ B|
25 = 27 - |A ∩ B|
|A ∩ B| = 27 - 25
|A ∩ B| = 2

Ответ: 2 учащихся изучают оба языка.