5. В классе 25 учащихся: 16 из них учат английский язык, 11 — немецкий. Каждый из учеников изучает хотя бы один язык. Сколько учащихся изучают оба языка?

Решение:

Эта задача решается с помощью принципа включения-исключения для двух множеств.

Пусть:

• Общее количество учащихся = 25
• Количество учащихся, изучающих английский язык (A) = 16
• Количество учащихся, изучающих немецкий язык (N) = 11
• Количество учащихся, изучающих оба языка = ?

Формула:

Общее количество = |A| + |N| - |A ∩ N|

Где |A ∩ N| — это количество учащихся, изучающих оба языка.

1. Подставим известные значения в формулу:
2. 25 = 16 + 11 - |A ∩ N|
3. 25 = 27 - |A ∩ N|
4. Теперь найдем |A ∩ N|:
5. |A ∩ N| = 27 - 25
6. |A ∩ N| = 2

Вариант решения через диаграмму Венна:

В классе 25 учеников, и каждый изучает хотя бы один язык. Это значит, что сумма учеников, изучающих только английский, только немецкий, и оба языка, равна 25.

Пусть:

• x — количество учеников, изучающих только английский.
• y — количество учеников, изучающих только немецкий.
• z — количество учеников, изучающих оба языка.

У нас есть:

• x + z = 16 (все, кто учит английский)
• y + z = 11 (все, кто учит немецкий)
• x + y + z = 25 (все ученики в классе)

Из первого уравнения выразим x: x = 16 - z.

Из второго уравнения выразим y: y = 11 - z.

Подставим эти выражения в третье уравнение:

(16 - z) + (11 - z) + z = 25

27 - z = 25

z = 27 - 25

z = 2

Таким образом, 2 ученика изучают оба языка.

Проверка:

• Только английский: 16 - 2 = 14
• Только немецкий: 11 - 2 = 9
• Оба языка: 2
• Всего: 14 + 9 + 2 = 25. Верно.

Ответ: 2 учащихся изучают оба языка.