№ 5. В классе учатся 42 ребёнка, из них участвовали в олимпиаде по математике 25 детей, а в олимпиаде по русскому языку — 30 детей. Сколько детей участвовало в обеих этих олимпиадах?

Решение:

Пусть М — множество детей, участвовавших в олимпиаде по математике, а Р — множество детей, участвовавших в олимпиаде по русскому языку.

Дано:

• Общее число детей в классе = 42
• |М| = 25
• |Р| = 30

Формула для объединения множеств:

В данном случае, общее число детей в классе (42) является верхним пределом для |М ∪ Р|. Однако, если предположить, что каждый ребенок участвовал хотя бы в одной олимпиаде, то |М ∪ Р| = 42. В противном случае, часть детей не участвовала ни в одной олимпиаде.

Давайте найдем минимальное возможное число детей, участвовавших в обеих олимпиадах. Максимальное возможное число детей, участвовавших хотя бы в одной олимпиаде, равно сумме детей, участвовавших в каждой олимпиаде, минус те, кто участвовал в обеих. Если бы |М ∩ Р| = 0, то |М ∪ Р| = 25 + 30 = 55. Но в классе всего 42 ребенка, значит, обязательно есть пересечение.

Используем формулу, где |М ∪ Р| ≤ 42:

Чтобы найти количество детей, участвовавших в обеих олимпиадах, нам нужно знать, сколько детей участвовало хотя бы в одной олимпиаде. Задача не дает прямого указания, что все 42 ребенка участвовали хотя бы в одной олимпиаде. Однако, типичная постановка подобных задач подразумевает, что если не указано иное, то мы ищем пересечение в рамках общего числа учеников.

Предположим, что 42 ребенка — это общее число детей в классе, и из них 25 участвовали в математике, 30 — в русском. Мы ищем количество детей, которые участвовали в обеих олимпиадах. Пусть x — это количество детей, участвовавших в обеих олимпиадах.

Тогда:

• Детей, участвовавших только в математике: 25 - x
• Детей, участвовавших только в русском: 30 - x

Общее количество детей, участвовавших хотя бы в одной олимпиаде, равно сумме тех, кто участвовал только в математике, только в русском, и в обеих:

Решая неравенство:

27 ≤ x

Теперь найдем максимальное возможное значение x. Максимальное число детей, участвовавших в обеих олимпиадах, не может превышать меньшее из чисел, участвовавших в каждой олимпиаде. То есть, x ≤ 25.

Однако, часто в таких задачах подразумевается, что \( |М \cup Р| \) это максимальное число детей, которые могли участвовать, а именно 42. Если это так, то:

Проверка:

• Дети, участвовавшие только в математике: 25 - 13 = 12
• Дети, участвовавшие только в русском: 30 - 13 = 17
• Всего детей: 12 (только матем.) + 17 (только рус.) + 13 (обе) = 42

Это соответствует общему числу детей в классе.

Ответ: 13