5. В окружности радиуса 10 см проведён диаметр и на нём взята точка 5 см от центра. Найдите радиус второй окружности, которая касается и изнутри касается данной окружности.

Краткое пояснение:

Решение:

• Пусть R - радиус большей окружности, r - радиус меньшей окружности.
• По условию, R = 10 см.
• Точка взята на диаметре, на расстоянии 5 см от центра большей окружности.
• Рассмотрим два случая для расположения второй окружности:
• Случай 1: Вторая окружность касается большей окружности изнутри и находится ближе к одному из концов диаметра.
• Центр большей окружности находится в точке 0. Центр меньшей окружности будет находиться на расстоянии 5 см от центра большей окружности.
• Расстояние между центрами = |R - r|.
• В данном случае, расстояние от центра большей окружности до точки касания с меньшей окружностью будет R.
• Рассмотрим точку, взятую на диаметре на расстоянии 5 см от центра. Пусть центр большей окружности O находится в начале координат (0,0). Тогда большая окружность описывается уравнением \( x^2 + y^2 = 10^2 \).
• Точка на диаметре может быть, например, в (5,0) или (-5,0).
• Пусть центр второй окружности находится в точке C, а её радиус r.
• Если вторая окружность касается большей изнутри, то расстояние от центра O до центра C равно R - r.
• Пусть центр второй окружности находится в точке (5, 0). Тогда расстояние от O до C равно 5.
• Следовательно, 5 = 10 - r.
• r = 10 - 5 = 5 см.
• Случай 2: Вторая окружность касается большей окружности изнутри и находится ближе к другому концу диаметра.
• Пусть центр второй окружности находится в точке (-5, 0). Тогда расстояние от O до C равно 5.
• Следовательно, 5 = 10 - r.
• r = 10 - 5 = 5 см.
• Другое расположение точки: Точка взята на диаметре. Диаметр имеет длину 2R = 20 см. Центр окружности находится в середине диаметра. Точка на расстоянии 5 см от центра.
• Рассмотрим диаметр как отрезок от -10 до 10. Центр в 0. Точка может быть в 5 или -5.
• Если центр второй окружности находится в точке (5, 0), то расстояние от центра большей окружности (0,0) до центра второй окружности (5,0) равно 5.
• Условие касания изнутри: расстояние между центрами = R - r.
• 5 = 10 - r
• r = 5 см.
• Если центр второй окружности находится в точке (-5, 0), то расстояние между центрами также равно 5.
• 5 = 10 - r
• r = 5 см.

Ответ: 5 см