5. В окружности с центром О проведены хорды AB и CD, которые пересекаются в точке Е. Известно, что AE=4 см, BE=6 см, CE=3 см. Найдите длину отрезка DE.

Дано:

• Окружность с центром О.
• AB и CD — хорды, пересекаются в точке Е.
• AE = 4 см.
• BE = 6 см.
• CE = 3 см.

Найти: DE

Решение:

1. Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о пересекающихся хордах. Эта теорема гласит, что если две хорды пересекаются внутри круга, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
2. Формула теоремы: [ AE \(\cdot\) BE = CE \(\cdot\) DE \]
3. Сначала найдем длину хорды AB: [ AB = AE + BE = 4 \(\text{ см}\) + 6 \(\text{ см}\) = 10 \(\text{ см}\) \]
4. Теперь подставим известные значения в формулу теоремы: [ 4 \(\text{ см}\) \(\cdot\) 6 \(\text{ см}\) = 3 \(\text{ см}\) \(\cdot\) DE \]
5. Вычислим произведение отрезков хорды AB: [ 24 \(\text{ см}\)^2 = 3 \(\text{ см}\) \(\cdot\) DE \]
6. Теперь найдем длину отрезка DE, разделив обе части уравнения на 3 см: [ DE = \(\frac{24 \text{ см}^2}{3 \text{ см}}\) \]
7. [ DE = 8 \(\text{ см}\) \]

Ответ: 8 см