5. В параллелограмме ABCD биссектриса угла D пересекает сторону BC в точке M. Отрезок BM меньше отрезка MC в 4 раза. Найдите периметр параллелограмма, если BC = 15 см.

Так как MC = 4BM и BM + MC = BC = 15, получаем 5BM = 15, откуда BM = 3 см и MC = 12 см.

Поскольку BC ∥ AD, углы ADM и DMA равны. Биссектриса угла D даёт ∠ADM = ∠MDA? Точнее, в треугольнике ADM угол ADM равен углу между AD и DM, а угол DMA равен углу между DM и BC; эти углы равны, поскольку AD ∥ BC. Значит, треугольник ADM равнобедренный и AM = AD.

Также в параллелограмме AD = BC = 15 см; из равнобедренности ADM и положения M на BC следует стандартное соотношение AB = MC = 12 см. Поэтому периметр равен 2(AB + BC) = 2(12 + 15) = 54 см.

Ответ: 54 см.