5. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 104°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Так как AB ∥ CD, углы ∠BAC и ∠ACD являются односторонними при секущей AC, поэтому ∠BAC = 180° − 104° = 76°.

Обозначим AB = x. Тогда AC = 2x. В треугольнике ABC по теореме синусов:

sin ∠ABC / AC = sin 76° / BC, то есть sin ∠ABC = 2 sin 76° · BC / x; чтобы найти направление диагонали BD, удобнее использовать координатное соотношение.

Положим A = (0, 0), B = (x, 0), а C = (2x cos 76°, 2x sin 76°). Поскольку ABCD — параллелограмм, D = C − B. Тогда вектор BD = C − 2B = 2x(cos 76° − 1, sin 76°). Его направление образует с AB угол 90° + 76°/2 = 128°. Диагональ AC направлена под углом 76° к AB. Поэтому угол между диагоналями равен 128° − 76° = 52°.

Ответ: 52°.