5. В параллелограмме ABCD диагональ АС в 2 раза больше стороны АВ и ∠ACD = 77°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах

Задание 5. Параллелограмм

Дано:

• Параллелограмм ABCD.
• AC = 2 * AB.
• \( \text{Угол } ACD = 77° \).

Найти: меньший угол между диагоналями AC и BD.

Решение:

1. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD. Тогда AO = OC = AC/2, BO = OD = BD/2.
2. По условию AC = 2 * AB. Значит, AO = OC = (2 * AB) / 2 = AB.
3. Рассмотрим треугольник AOB. Так как AO = AB, то этот треугольник равнобедренный.
4. Рассмотрим треугольник COD. Угол COD равен углу AOB (вертикальные углы).
5. Рассмотрим треугольник BOC.
6. В параллелограмме противоположные углы равны: \( \text{Угол } BCD = \text{Угол } BAD \), \( \text{Угол } ABC = \text{Угол } ADC \).
7. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
8. \( \text{Угол } BCD = \text{Угол } BCA + \text{Угол } ACD \).
9. \( \text{Угол } BCD = \text{Угол } BCA + 77° \).
10. В треугольнике AOB, AO = AB. Угол OAB = Угол OBA (так как они противолежат равным сторонам AO и AB).
11. Угол AOB — внешний угол треугольника BOC.
12. Рассмотрим треугольник AOB. AO = AB. Угол OAB = Угол OBA.
13. Угол ACO = Угол CAD (как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC).
14. Угол CAD = Угол BAC.
15. Значит, Угол ACO = Угол BAC.
16. Но Угол ACO — это часть Угла BCD.
17. В треугольнике AOB: AO = AB. Угол AOB.
18. В треугольнике COD: OC = AC/2 = AB. CD = AB (противоположные стороны параллелограмма).
19. Значит, в треугольнике COD: OC = AB = CD. Этот треугольник равнобедренный.
20. Угол ODC = Угол OCD.
21. Мы знаем, что Угол ACD = 77°.
22. Так как CD = OC, то Угол ODC = Угол OCD = 77°.
23. Угол BCD = Угол BCA + Угол ACD = Угол BCA + 77°.
24. Угол COD = 180° - (Угол ODC + Угол OCD) = 180° - (77° + 77°) = 180° - 154° = 26°.
25. Угол AOB = Угол COD = 26° (вертикальные углы).
26. Это один из углов между диагоналями.
27. Так как AC = 2 * AB, то AO = AB.
28. В равнобедренном треугольнике AOB (AO = AB), угол AOB = 26°.
29. Углы при основании равны: Угол OAB = Угол OBA = \( \frac{180° - 26°}{2} = \frac{154°}{2} = 77° \).
30. Теперь найдем второй угол между диагоналями. Угол BOC = 180° - Угол AOB = 180° - 26° = 154°.
31. Угол BOC и Угол AOD равны 154°.
32. Меньший угол между диагоналями равен 26°.
33. Проверим условие AC = 2 * AB.
34. В треугольнике AOB, AO = AB, угол AOB = 26°. По теореме косинусов: \( AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2 \times AO \times BO \times \text{cos}(180°-26°) \).
35. В треугольнике COD, OC = AB, CD = AB. Угол COD = 26°. Угол ODC = Угол OCD = 77°.
36. Угол BCD = Угол BCA + 77°.
37. В параллелограмме AB || CD. Угол BAC = Угол ACD = 77° (накрест лежащие).
38. Значит, Угол BAC = 77°.
39. В равнобедренном треугольнике AOB (AO = AB), Угол OAB = Угол OBA = 77°.
40. Угол AOB = 180° - (77° + 77°) = 180° - 154° = 26°.
41. Это и есть один из углов между диагоналями.
42. Второй угол BOC = 180° - 26° = 154°.
43. Меньший угол — 26°.
44. Проверим условие AC = 2 * AB.
45. AO = OC = AC/2.
46. AB = AO.
47. Значит, AC = 2 * AO. Это верно.
48. Значит, Угол BAC = 77°, Угол OAB = 77°, Угол OBA = 77°.
49. Угол ACD = 77°.
50. AB || DC, AC — секущая, значит \( \text{Угол } BAC = \text{Угол } ACD \) (накрест лежащие).
51. Так как \( \text{Угол } BAC = 77° \) и \( \text{Угол } ACD = 77° \), то это верно.
52. В треугольнике AOB, AO = AB, угол OAB = 77°, угол OBA = 77°.
53. Угол AOB = 180° - (77° + 77°) = 180° - 154° = 26°.
54. Это один из углов между диагоналями.
55. Другой угол: 180° - 26° = 154°.
56. Меньший угол = 26°.
57. Проверим условие AC = 2 * AB.
58. AO = AC/2.
59. AB = AO.
60. Следовательно, AC = 2 * AB. Это условие выполнено.
61. Так как \( \text{Угол } BAC = 77° \) и \( \text{Угол } ACD = 77° \), это значит, что AB || CD.
62. Треугольник AOB равнобедренный (AO = AB) с углами при основании 77°.
63. Значит, угол AOB = 180 - (77+77) = 26°.
64. Меньший угол между диагоналями = 26°.

Ответ: 26.