5. В параллелограмме ABCD диагональ АС в 2 раза больше стороны АВ и \(\angle\) ACD = 111°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB, то есть \( AC = 2AB \).

Диагональ BD делит диагональ AC пополам в точке пересечения, допустим, O. Следовательно, \( AO = OC = \frac{1}{2} AC \).

Так как \( AC = 2AB \), то \( OC = AB \).

Рассмотрим треугольник \( OCD \). В нем \( OC = AB \). Поскольку ABCD — параллелограмм, \( AB = CD \), следовательно, \( OC = CD \).

Таким образом, треугольник \( OCD \) — равнобедренный с основанием OD.

Угол \( CO = 111° \) — это внешний угол треугольника \( OCD \) при вершине C, смежный с углом \( OC \).

Значит, угол \( OC \) = \( 180° - 111° = 69° \).

Поскольку \( OCD \) — равнобедренный треугольник, то углы при основании равны: \( OD = OC = 69° \).

Сумма углов треугольника \( OCD \) равна 180°.

Угол \( ODC \) = \( 180° - (OC + OD) = 180° - (69° + 69°) = 180° - 138° = 42° \).

Теперь рассмотрим треугольник \( OAD \). Угол \( OD = 69° \) (как вертикальный к \( OC \>).

\( ODC = 42° \) и \( ADC \>). Угол \( ADC \>).

Угол \( AOD \>).

Угол \( CDA = 42° \>).

Сумма углов \( AOD \) = \( 180° - (OAD + ODC) \).

Так как ABCD — параллелограмм, то \( AB \parallel CD \).

Угол \( AOD \>).

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. \( ADC + DCB = 180° \>).

\( CDA = 42° \>).

Угол \( ABC = ADC = 42° \>).

\( BCD = 180° - 42° = 138° \>).

Угол \( ACD = 111° \).

Угол \( ACB = BCD - ACD = 138° - 111° = 27° \>.

В треугольнике \( AOC \>).

Угол \( AOC \>).

Угол \( OAC \>).

Угол \( OCA = 27° \>).

Угол \( AOC = 180° - (OAC + OCA) \>.

Рассмотрим треугольник \( OAB \>. \( OA = OC \>).

Угол \( AOB \>).

Угол \( OBA \>).

Угол \( OAB = ACD = 111° \>).

Это неверно. \( BAC = ACD \>).

Дано: \( AC = 2AB \>).

В \( AOB \>).

\( OA = \frac{1}{2} AC = AB \>).

Значит, \( AOB \) — равнобедренный с основанием OB.

Угол \( OAB = OBA \>.

Угол \( AOB \>).

Угол \( OCA = 27° \>).

Угол \( AOC = 180° - 27° = 153° \>.

Угол \( AOB \>).

Угол \( AOB \>).

Угол \( AOB \>).

Угол \( AOB = 180° - AOC = 180° - 153° = 27° \>.

В равнобедренном \( AOB \>).

\( OAB = OBA = (180° - 27°) / 2 = 153° / 2 = 76.5° \>.

Угол между диагоналями - это \( AOB \>).

Ответ: 76.5