7. В треугольнике АВС известно, что DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 96. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

Так как \( DE \) — средняя линия треугольника \( ABC \), то \( DE \parallel AC \) и \( DE = \frac{1}{2} AC \). Также \( \triangle BDE \sim \triangle BAC \) с коэффициентом подобия \( k = \frac{1}{2} \).

Площадь треугольника \( ABC \) относится к площади треугольника \( BDE \) как квадрат коэффициента подобия: \( \frac{S_{ABC}}{S_{BDE}} = k^2 \).

\( S_{ABC} = S_{BDE} \cdot \frac{1}{k^2} \) — это неверно.

Площадь треугольника \( CDE \) равна 96. Средняя линия \( DE \) делит треугольник \( ABC \) на три равновеликих треугольника: \( \triangle BDE \), \( \triangle ADE \) и \( \triangle CDE \).

Поэтому, площадь треугольника \( ABC \) равна сумме площадей этих трех треугольников, или \( 3 \) площади одного из них, если они равновелики.

Согласно условию, \( DE \) — средняя линия, следовательно, \( \triangle BDE \sim \triangle BAC \) с коэффициентом подобия \( \frac{1}{2} \).

Площадь \( \triangle CDE \) равна 96. Треугольники \( \triangle ADE \) и \( \triangle BDE \) также имеют площадь, равную площади \( \triangle CDE \), если \( DE \) средняя линия, параллельная \( AC \).

\( S_{ABC} = 3 \cdot S_{CDE} = 3 \cdot 96 = 288 \)

Ответ: 288