5. В параллелограмме АВСД проведена биссектриса угла ВАД, которая пересекает сторону ВС в точке К. а) Докажите, что треугольник АВК — равнобедренный. б) Найдите сторону АД, если ВК = 18 см, а периметр параллелограмма равен 80 см.

а) Так как АК — биссектриса угла ВАД, то \(\angle BAK=\angle KAD\). Поскольку \(AD\parallel BC\) и точка К лежит на ВС, углы \(\angle KAD\) и \(\angle AKB\) равны как накрест лежащие. Следовательно, \(\angle BAK=\angle AKB\), а значит, противоположные им стороны равны: \(AB=BK\). Треугольник АВК равнобедренный.

б) Из пункта а) \(AB=BK=18\) см. Периметр параллелограмма: \(2(AB+AD)=80\), поэтому \(AB+AD=40\). Тогда \(AD=40-18=22\) см.

Ответ: а) \(AB=BK\); б) 22 см.