5. В прямоугольнике ABCD точка O — точка пересечения диагоналей. Найдите: а) CB + CD; б) BD + AB − OD; в) |CA + BC + AO − DO|, если AB = 4 см, а BC = 6 см.

а) По правилу сложения векторов, исходящих из C, сумма CB + CD равна диагонали CA.

б) Перегруппируем слагаемые: BD − OD = BD + DO = BO. Тогда BO + AB = AB + BO = AO.

в) Обозначим вектор AB через u, а BC через v. Тогда CA = −u − v, BC = v. Поскольку O — середина диагонали BD, AO = (u + v)/2 и DO = (u − v)/2. Поэтому CA + BC + AO − DO = −u − v + v + (u + v)/2 − (u − v)/2 = −u + v. Векторы AB и BC в прямоугольнике перпендикулярны, а их длины равны 4 см и 6 см. Следовательно, модуль результата равен √(4² + 6²) = √52 = 2√13 см.

Ответ: а) CA; б) AO; в) 2√13 см.