5. В прямоугольном треугольнике ABC ∠C=90°, АС=8 см, ∠ABC=45°. Найдите: а)АС; б) высоту CD, проведенную к гипотенузе.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^{\circ} \), \( AC = 8 \) см, \( \angle ABC = 45^{\circ} \).

а) Найдем AC:

В условии уже дано, что \( AC = 8 \) см. Возможно, имелось в виду найти BC или AB.

Найдём BC:

Так как \( \angle C = 90^{\circ} \) и \( \angle ABC = 45^{\circ} \), то \( \angle BAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \). Следовательно, \( \triangle ABC \) — равнобедренный прямоугольный треугольник, и \( AC = BC = 8 \) см.

Найдём AB (гипотенузу):

По теореме Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128 \).

\( AB = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2} \) см.

б) Найдем высоту CD, проведенную к гипотенузе:

1. Площадь \( \triangle ABC \) можно найти двумя способами: \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \) и \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD \).
2. \( S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32 \) см².
3. Приравниваем площади: \( \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD = 32 \)
4. \( \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot CD = 32 \)
5. \( 4\sqrt{2} \cdot CD = 32 \)
6. \( CD = \frac{32}{4\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \) см.

Ответ: а) AC = 8 см; б) CD = 4\(\sqrt{2}\) см.