4. В треугольнике АВС прямая MN, параллельная стороне АС, делит сторону ВС на отрезки BN=15 см и NC=5 см, а сторону АВ на ВМ и АМ. Найдите длину отрезка MN, если АС=15 см.

Краткая запись:

• Треугольник АВС, MN || АС
• BN = 15 см, NC = 5 см
• АС = 15 см
• Найти: MN — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: По условию, MN || AC. Это значит, что треугольник MBN подобен треугольнику ABC (по двум углам: угол B общий, и углы BMN и BAC равны как соответственные при параллельных прямых MN и AC и секущей AB).
2. Шаг 2: Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон: \( \frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} \).
3. Шаг 3: Мы знаем, что BN = 15 см и NC = 5 см. Следовательно, BC = BN + NC = 15 + 5 = 20 см.
4. Шаг 4: Теперь можем использовать пропорцию \( \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} \) для нахождения MN.
   \( \frac{15}{20} = \frac{MN}{15} \).
5. Шаг 5: Решаем пропорцию:
   \( MN = \frac{15 \cdot 15}{20} = \frac{225}{20} = \frac{45}{4} = 11.25 \) см.

Ответ: 11.25 см