6. Дан прямоугольный треугольник АВС, у которого ∠С-прямой, катет BC=6 см и ∠A=60°. Найдите: а) остальные стороны ДАВС б) площадь ДАВС в) длину высоты, опущенной из вершины С.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^{\circ} \), \( BC = 6 \) см, \( \angle A = 60^{\circ} \).

а) Найдём остальные стороны \( \triangle ABC \):

1. Найдём \( \angle B \): \( \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).
2. Найдем катет AC. Катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы. Катет, прилежащий к углу 60° (AC), равен другому катету (BC), умноженному на \( \sqrt{3} \): \( AC = BC \cdot \text{tg}(\angle B) \) или \( AC = BC \cdot \text{ctg}(\angle A) \).
3. \( AC = 6 \cdot \text{tg}(30^{\circ}) = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \) см.
4. Найдём гипотенузу AB. Используем теорему Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)
5. \( AB^2 = (2\sqrt{3})^2 + 6^2 = (4 \cdot 3) + 36 = 12 + 36 = 48 \)
6. \( AB = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \) см.

б) Найдём площадь \( \triangle ABC \):

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \).

1. \( S = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 6 \)
2. \( S = 6\sqrt{3} \) см².

в) Найдём длину высоты, опущенной из вершины С:

Высота \( CD \), опущенная на гипотенузу, находится по формуле: \( CD = \frac{AC \cdot BC}{AB} \).

1. \( CD = \frac{2\sqrt{3} \cdot 6}{4\sqrt{3}} \)
2. \( CD = \frac{12\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = 3 \) см.

Ответ: а) AC = 2\(\sqrt{3}\) см, AB = 4\(\sqrt{3}\) см; б) 6\(\sqrt{3}\) см²; в) 3 см.