5) В прямоугольном треугольнике ABC катет BC равен 16 см, а проекция катета AC на гипотенузу AB равна 24 см. Найдите длину гипотенузы.

Обозначим гипотенузу через \(c=AB\). Проекция катета \(AC\) на гипотенузу равна 24 см, поэтому проекция катета \(BC\) равна \(c-24\) см.

По теореме о катете квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета:

\[16^2=c(c-24).\]

Получаем \(c^2-24c-256=0\), откуда \((c-32)(c+8)=0\). Поскольку длина положительна, \(c=32\).

Ответ: 32 см.