5. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C гипотенуза AB равна 16 см, а угол A равен 30°. Найдите длину катета BC и высоту CD, проведённую к гипотенузе.

Дано: \(AB=16\) см, \(\angle C=90°\), \(\angle A=30°\). Найти \(BC\) и \(CD\).

Катет BC лежит напротив угла 30°, поэтому в прямоугольном треугольнике он равен половине гипотенузы:

\(BC=\frac{AB}{2}=\frac{16}{2}=8\) см.

Второй катет:

\(AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{16^2-8^2}=8\sqrt{3}\) см.

Площадь треугольника можно выразить двумя способами: \(\frac12 AC\cdot BC=\frac12 AB\cdot CD\). Отсюда

\(CD=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{8\sqrt{3}\cdot8}{16}=4\sqrt{3}\) см.

Ответ: \(BC=8\) см, \(CD=4\sqrt{3}\) см.