5. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CD. Найдите величину угла А, если DB = 3, а BC = 6.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC (\( \angle C = 90^{\circ} \)) проведена высота CD. Следовательно, \( \angle CDB = 90^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник CDB.

Известны катет \( DB = 3 \) и гипотенуза \( BC = 6 \).

Мы можем найти синус угла \( \angle B \) в треугольнике CDB:

\( \sin(\angle B) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CD}{BC} \). Это не поможет нам найти \( \angle A \) напрямую.

Найдем косинус угла \( \angle B \) в треугольнике CDB:

\( \cos(\angle B) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{DB}{BC} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)

Из значения косинуса следует, что \( \angle B = 60^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике ABC, сумма углов равна 180°, и \( \angle C = 90^{\circ} \). Поэтому:

\( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \)

\( \angle A + 60^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle A + 150^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle A = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ} \)

Ответ: 30