3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 нарисованы два четырёхугольника: ABCD и ADEF. Найдите разность периметров четырёхугольников ABCD и ADEF.

Решение:

Рассмотрим четырёхугольник ABCD.

Координаты вершин:

• A: (1, 2)
• B: (3, 2)
• C: (3, 0)
• D: (1, 0)

Длины сторон:

• AB = \( \sqrt{(3-1)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2 \)
• BC = \( \sqrt{(3-3)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = 2 \)
• CD = \( \sqrt{(1-3)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = 2 \)
• DA = \( \sqrt{(1-1)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2 \)

Четырёхугольник ABCD является квадратом со стороной 2.

Периметр ABCD: \( P_{ABCD} = 4 \times 2 = 8 \)

Теперь рассмотрим четырёхугольник ADEF.

Координаты вершин:

• A: (1, 2)
• D: (1, 0)
• E: (0, 0)
• F: (0, 2)

Длины сторон:

• AD = \( \sqrt{(1-1)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = 2 \)
• DE = \( \sqrt{(0-1)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2} = 1 \)
• EF = \( \sqrt{(0-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2 \)
• FA = \( \sqrt{(1-0)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1 \)

Четырёхугольник ADEF является прямоугольником со сторонами 1 и 2.

Периметр ADEF: \( P_{ADEF} = 2 \times (1+2) = 2 \times 3 = 6 \)

Разность периметров:

\( P_{ABCD} - P_{ADEF} = 8 - 6 = 2 \)

Ответ: 2