5. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна c, а один из острых равен β. Найдите биссектрису второго угла.

Второй острый угол равен \(\gamma=90^\circ-\beta\). Катет, прилежащий к углу \(\gamma\), равен \(c\sin\beta\), а второй катет — \(c\cos\beta\).

Для биссектрисы угла между сторонами \(c\) и \(c\sin\beta\) используем формулу \(l=\frac{2mn\cos(\gamma/2)}{m+n}\):

\(l=\frac{2c\cdot c\sin\beta\cos(45^\circ-\beta/2)}{c+c\sin\beta}=\frac{2c\sin\beta\cos(45^\circ-\beta/2)}{1+\sin\beta}\).

Ответ: биссектриса второго угла равна \(\frac{2c\sin\beta\cos(45^\circ-\beta/2)}{1+\sin\beta}\).