5. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна c, а один из острых углов равен β. Найдите биссектрису второго угла.

Второй острый угол равен \(90^\circ-\beta\). Против него лежит катет \(c\sin\beta\), а прилегающие к нему стороны — этот катет и гипотенуза c.

Используем формулу длины биссектрисы угла A: \(l=\frac{2bc\cos(A/2)}{b+c}\), где b и c — стороны, образующие угол.

Подставляем \(A=90^\circ-\beta\), а стороны — \(c\sin\beta\) и c:

\(l=\frac{2c\sin\beta\cdot c\cos((90^\circ-\beta)/2)}{c\sin\beta+c}=\frac{2c\sin\beta\cos((90^\circ-\beta)/2)}{1+\sin\beta}\).

Ответ: \(\displaystyle l=\frac{2c\sin\beta\cos((90^\circ-\beta)/2)}{1+\sin\beta}\).