5. В прямоугольном треугольнике MNK с прямым углом NMN = 9 см, NK = 12 см. Найдите cos K.

Задание 5. Косинус угла в прямоугольном треугольнике

Дано:

• Прямоугольный треугольник \( MNK \) (угол \( ∠ N = 90° \)).
• Катет \( MN = 9 \) см.
• Катет \( NK = 12 \) см.

Найти: \( \text{cos K} \).

Решение:

Косинус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

\( \text{cos K} = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \)

В нашем треугольнике:

• Прилежащий катет к углу \( K \) — это \( NK \).
• Противолежащий катет к углу \( K \) — это \( MN \).

Сначала найдём гипотенузу \( MK \) по теореме Пифагора: \( MK^2 = MN^2 + NK^2 \).

\[ MK^2 = 9^2 + 12^2 \]\[ MK^2 = 81 + 144 \]\[ MK^2 = 225 \]

Извлечём квадратный корень:

\[ MK = \sqrt{225} = 15 \] см.

Теперь найдём \( \text{cos K} \):

\[ \text{cos K} = \frac{NK}{MK} = \frac{12}{15} \]

Сократим дробь:

\[ \text{cos K} = \frac{12 ÷ 3}{15 ÷ 3} = \frac{4}{5} \]

Или в десятичной форме:

\[ \text{cos K} = 0.8 \]

Ответ: \( \frac{4}{5} \) или 0.8.