5. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 60°, а прилежащий к нему катет 12 см. Найдите гипотенузу и площадь прямоугольного треугольника.

Решение:

Дано:

• Прямоугольный треугольник ABC.
• \(\angle B = 60°\)
• Прилежащий катет \( a = BC = 12 \text{ см} \)
• \(\angle C = 90°\)

Найти:

• Гипотенузу \( c = AB \)
• Площадь \( S \)

1. Найдем второй угол треугольника.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°, значит, сумма двух острых углов равна 90°.

\[ \angle A = 90° - \angle B = 90° - 60° = 30° \]

2. Найдем гипотенузу (AB).

Используем определение косинуса угла:

\[ \cos(\angle B) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \]\[ \cos(60°) = \frac{BC}{AB} \]\[ \frac{1}{2} = \frac{12 \text{ см}}{AB} \]\[ AB = 12 \text{ см} \cdot 2 = 24 \text{ см} \]

3. Найдем второй катет (AC).

Используем определение тангенса угла:

\[ \tan(\angle B) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} \]\[ \tan(60°) = \frac{AC}{BC} \]\[ \sqrt{3} = \frac{AC}{12 \text{ см}} \]\[ AC = 12 \sqrt{3} \text{ см} \]

4. Найдем площадь треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC \]\[ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \text{ см} \cdot 12\sqrt{3} \text{ см} = 72\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Ответ: Гипотенуза равна 24 см, площадь треугольника равна 72\(\sqrt{3}\) см².