5. В прямоугольном треугольнике один из углов равен α, а катет, прилежащий к данному углу, равен a. Найдите биссектрису прямого угла.

Пусть острые углы равны \(\alpha\) и \(90^\circ-\alpha\). Катет, прилежащий к углу \(\alpha\), равен \(a\). Тогда второй катет равен \(a\tan\alpha\), а гипотенуза — \(a/\cos\alpha\).

Длина биссектрисы угла \(C\) между сторонами длины \(a\tan\alpha\) и \(a/\cos\alpha\), при угле \(90^\circ\), находится по формуле \(l=\frac{2xy\cos45^\circ}{x+y}\). Подставим значения:

\(l=\frac{\sqrt2\,a^2\tan\alpha/\cos\alpha}{a\tan\alpha+a/\cos\alpha}=\frac{\sqrt2\,a\sin\alpha}{\sin\alpha+1}\).

Ответ: \(\displaystyle l=\frac{\sqrt2\,a\sin\alpha}{1+\sin\alpha}\).