5. В прямоугольной трапеции один из углов равен 60°. Найдите основания трапеции, если известно, что средняя линия трапеции равна 8 см, а большая боковая сторона трапеции равна 12 см. Дополнительное задание. Дан треугольник ABC, M — середина стороны AB. Докажите, что \(\overrightarrow{CM}=\frac12(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})\).

Пусть основания трапеции равны \(a\) и \(b\), где \(a>b\).

1. По формуле средней линии \(\frac{a+b}{2}=8\), поэтому \(a+b=16\).
2. Большая боковая сторона — наклонная, равная 12 см. Её проекция на направление основания равна \(12\cos 60^\circ=6\) см. Значит, разность оснований равна 6 см: \(a-b=6\).
3. Решаем систему: \(a=11\), \(b=5\).

Для дополнительного задания: так как M — середина AB, \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vec 0\). Представим векторы через точку M: \(\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MA}\), \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MB}\). Складывая равенства, получаем \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CM}\), откуда следует требуемое равенство.

Ответ: основания трапеции — 11 см и 5 см.