Вариант 2. 5. В равнобедренной трапеции один из углов равен 60°. Найдите основания трапеции, если известно, что средняя линия трапеции равна 14 см, а боковые стороны трапеции равны 12 см. Дополнительное задание. Дан треугольник ABC, M — середина стороны AB. Докажите, что \(\overrightarrow{CM}=\frac12(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})\).

Пусть основания равнобедренной трапеции равны \(a\) и \(b\), где \(a>b\).

1. Средняя линия равна полусумме оснований: \(\frac{a+b}{2}=14\), значит, \(a+b=28\).
2. Горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна \(12\cos 60^\circ=6\) см. Поэтому разность оснований равна \(a-b=6+6=12\).
3. Решаем систему \(a+b=28\), \(a-b=12\): получаем \(a=20\), \(b=8\).

Для дополнительного задания: поскольку M — середина AB, \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vec 0\). При этом \(\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MA}\), а \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MB}\). Складывая, имеем \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CM}\). Делим обе части на 2 и получаем требуемое равенство.

Ответ: основания трапеции — 20 см и 8 см.