Вариант 2. 4. В ромбе MNPK на сторонах MN и NP взяты точки A и B таким образом, что AN = 2MA, NB = 3BP. а) Выразите через векторы \(\vec a=\overrightarrow{MK}\) и \(\vec b=\overrightarrow{KP}\) вектор \(\overrightarrow{AB}\). б) Существует ли такое число k, что выполняется равенство \(\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{NP}\)?

а) В ромбе противоположные стороны параллельны и равны, поэтому \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{KP}=\vec b\), а \(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MK}=\vec a\).

1. Из \(AN=2MA\) следует, что \(MA:AN=1:2\), поэтому \(\overrightarrow{MA}=\frac13\vec b\).
2. Из \(NB=3BP\) следует, что \(NB:NP=3:4\), поэтому \(\overrightarrow{NB}=\frac34\vec a\).
3. Следовательно, \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NB}=-\frac13\vec b+\vec b+\frac34\vec a=\frac34\vec a+\frac23\vec b\).

б) Так как \(\overrightarrow{NP}=\vec a\), равенство \(\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{NP}\) потребовало бы, чтобы \(\overrightarrow{AB}\) был коллинеарен \(\vec a\). Но в найденном выражении есть ненулевое слагаемое \(\frac23\vec b\), а стороны ромба, задающие \(\vec a\) и \(\vec b\), неколлинеарны. Следовательно, такого числа k не существует.

Ответ: \(\overrightarrow{AB}=\frac34\vec a+\frac23\vec b\); такого числа k нет.