5. В торговом центре всего персонала — продавцы и кассиры, 3/7 — технические работники, а остальные — менеджеры и администрация. а) Какую часть персонала составляют менеджеры и администрация? б) Сколько человек работает менеджерами и в администрации, если всего в торговом центре работает 483 человека?

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. а) Определение доли менеджеров и администрации:
• Общее количество персонала примем за 1 (целое).
• Доля продавцов и кассиров: \( \frac{3}{7} \)
• Доля технических работников: \( \frac{7}{12} \) (опечатка в условии, предполагаем, что имелось в виду \( \frac{7}{12} \) от общего числа, а не от оставшегося).
• Найдем общий знаменатель для \( \frac{3}{7} \) и \( \frac{7}{12} \). Общий знаменатель = 7 × 12 = 84.
• Приведем дроби к общему знаменателю:
• \( \frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 12}{7 \cdot 12} = \frac{36}{84} \)
• \( \frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 7}{12 \cdot 7} = \frac{49}{84} \)
• Суммарная доля продавцов/кассиров и технических работников: \( \frac{36}{84} + \frac{49}{84} = \frac{85}{84} \).
• Важно: Полученная сумма \( \frac{85}{84} \) больше 1. Это указывает на ошибку в условии задачи. Предположим, что \( \frac{3}{7} \) — это продавцы и кассиры, а \( \frac{7}{12} \) — это оставшаяся часть персонала после вычета продавцов и кассиров, а менеджеры и администрация — это часть от оставшейся.
• Переформулируем решение, исходя из наиболее вероятного смысла условия:
• Общая доля персонала = 1.
• Доля продавцов и кассиров = \( \frac{3}{7} \).
• Оставшаяся доля после продавцов и кассиров = \( 1 - \frac{3}{7} = \frac{7}{7} - \frac{3}{7} = \frac{4}{7} \).
• Из этой оставшейся доли \( \frac{4}{7} \), \( \frac{7}{12} \) — это технические работники.
• Доля технических работников = \( \frac{4}{7} \cdot \frac{7}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \).
• Теперь найдем долю менеджеров и администрации. Это оставшаяся часть от \( \frac{4}{7} \) после вычета технических работников.
• Доля менеджеров и администрации = \( \frac{4}{7} - \text{доля технических работников} \).
• Еще одна интерпретация: Если \( \frac{3}{7} \) — продавцы и кассиры, а \( \frac{7}{12} \) — это технические работники, то эти доли относятся к общему числу персонала.
• В этом случае, как мы уже посчитали, \( \frac{3}{7} + \frac{7}{12} = \frac{36}{84} + \frac{49}{84} = \frac{85}{84} \), что невозможно.
• Предположим, что в условии есть опечатка и \( \frac{3}{7} \) - это одна группа, а \( \frac{7}{12} \) - это другая группа. И менеджеры/администрация - это оставшаяся часть.
• Итоговая интерпретация (наиболее вероятная, несмотря на противоречие в исходных данных):
• Доля продавцов и кассиров = \( \frac{3}{7} \).
• Доля технических работников = \( \frac{7}{12} \) (предполагаем, что это доля от общего числа).
• Сумма этих долей = \( \frac{36}{84} + \frac{49}{84} = \frac{85}{84} \).
• Так как это больше 1, задача некорректна. Если предположить, что \( \frac{3}{7} \) — продавцы и кассиры, а \( \frac{7}{12} \) — это технические работники из оставшейся части.
• Доля продавцов и кассиров = \( \frac{3}{7} \).
• Оставшаяся часть = \( 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7} \).
• Доля технических работников = \( \frac{4}{7} \cdot \frac{7}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \).
• Доля менеджеров и администрации = \( \frac{4}{7} - \frac{1}{3} \) (из оставшейся части).
• Приведем к общему знаменателю: \( \frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{12}{21} - \frac{7}{21} = \frac{5}{21} \).
• Итак, доля менеджеров и администрации составляет \( \frac{5}{21} \).
• б) Количество человек, работающих менеджерами и в администрации:
• Общее количество персонала = 483 человека.
• Количество менеджеров и администрации = \( 483 \cdot \frac{5}{21} \).
• \( 483 : 21 \).
• 483 | 21
• - 42 |----
• ---- | 23
• 63
• - 63
• ----
• 0
• \( 483 : 21 = 23 \).
• \( 23 \cdot 5 = 115 \).

Расчет для варианта, где \( \frac{7}{12} \) — это доля от общего числа, несмотря на некорректность:

• Доля менеджеров и администрации = \( 1 - (\frac{3}{7} + \frac{7}{12}) = 1 - \frac{85}{84} \), что невозможно.

Если предположить, что \( \frac{3}{7} \) — это продавцы/кассиры, а \( \frac{7}{12} \) — это технические работники, и все они суммируются, а менеджеры/администрация - это остаток.

• Общая доля = 1.
• \( \frac{3}{7} + \frac{7}{12} = \frac{36+49}{84} = \frac{85}{84} \). Так как эта сумма больше 1, то задача с такими условиями некорректна.
• Будем считать, что \( \frac{3}{7} \) - это продавцы и кассиры, а \( \frac{7}{12} \) - это менеджеры и администрация, а технические работники - это остаток.
• Доля менеджеров и администрации = \( \frac{7}{12} \).
• Количество менеджеров и администрации = \( 483 \cdot \frac{7}{12} = \frac{3381}{12} = 281.75 \). Это также нецелое число.
• Единственный логичный вариант, который дает целые числа:
• 1. Доля продавцов и кассиров = \( \frac{3}{7} \).
• 2. Оставшаяся часть = \( 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7} \).
• 3. Эта оставшаяся часть состоит из технических работников и менеджеров/администрации.
• 4. В условии сказано: "...а остальные — менеджеры и администрация." Это значит, что \( \frac{7}{12} \) от оставшейся части — это технические работники.
• 5. Доля технических работников = \( \frac{4}{7} \cdot \frac{7}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \).
• 6. Тогда доля менеджеров и администрации = \( \frac{4}{7} \) (оставшаяся часть) \( - \frac{1}{3} \) (технические работники).
• \( \frac{4}{7} - \frac{1}{3} = \frac{12}{21} - \frac{7}{21} = \frac{5}{21} \).
• а) Часть персонала, составляющая менеджеры и администрация: \( \frac{5}{21} \).
• б) Количество человек:
• \( 483 \cdot \frac{5}{21} = (483 / 21) \cdot 5 = 23 \cdot 5 = 115 \) человек.

Ответ: а) Менеджеры и администрация составляют \( \frac{5}{21} \) часть персонала. б) Менеджерами и в администрации работает 115 человек.