5. В трапеции высоты образуют с боковыми сторонами углы 60°, а её основания равны 11 и 5. Найдите периметр трапеции.

Разность оснований равна \(11-5=6\). Высоты перпендикулярны основаниям, поэтому каждый прямоугольный треугольник у боковой стороны имеет угол 60° между высотой и боковой стороной, а угол между боковой стороной и основанием равен 30°.

Пусть высота равна \(h\). Горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна \(h\tan 30^\circ = \frac{h}{\sqrt{3}}\). Сумма этих проекций равна разности оснований:

\(2\cdot\frac{h}{\sqrt{3}}=6\), откуда \(h=3\sqrt{3}\).

Длина каждой боковой стороны: \(\frac{h}{\cos 60^\circ}=\frac{3\sqrt{3}}{1/2}=6\sqrt{3}\).

Периметр: \(P=11+5+2\cdot6\sqrt{3}=16+12\sqrt{3}\).

Ответ: \(16+12\sqrt{3}\).