5) В треугольнике $ABC$ известны $AB=4\sqrt2$ см, $\angle A=45^\circ$, $\angle C=30^\circ$. Найти $BC$, $AC$ и $S_{\triangle ABC}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5) В треугольнике $ABC$ известны $AB=4\sqrt2$ см, $\angle A=45^\circ$, $\angle C=30^\circ$. Найти $BC$, $AC$ и…$ Фото задания

Accepted Answer

Найдём третий угол: $\angle B=180^\circ-45^\circ-30^\circ=105^\circ$.

По теореме синусов $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$.

$BC=AB\cdot\frac{\sin A}{\sin C}=4\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2/2}{1/2}=8$ см.
$AC=AB\cdot\frac{\sin B}{\sin C}=8\sqrt2\cdot\sin105^\circ$. Так как $\sin105^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$, то $AC=4\sqrt3+4$ см.
Площадь найдём по двум сторонам и углу между ними: $S=\frac12 AB\cdot AC\cdot\sin A=\frac12\cdot4\sqrt2\cdot4(\sqrt3+1)\cdot\frac{\sqrt2}{2}=8(\sqrt3+1)$ см².

Ответ: $BC=8$ см, $AC=4(\sqrt3+1)$ см, $S_{\triangle ABC}=8(\sqrt3+1)$ см².

5) В треугольнике \(ABC\) известны \(AB=4\sqrt2\) см, \(\angle A=45^\circ\), \(\angle C=30^\circ\). Найти \(BC\), \(AC\) и \(S_{\triangle ABC}\).