5. В треугольнике АВС известно, что LC=90°, LA=60°. Биссектриса угла А пересекает катет ВС в точке К. Найдите ВК, если АК-СК=8см.

В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) угол A = 60°.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, значит, угол B = 90° - 60° = 30°.

AK — биссектриса угла A, поэтому она делит угол A пополам:

∠CAK = ∠KAB = 60° / 2 = 30°.

Рассмотрим треугольник AKC:

∠C = 90°, ∠CAK = 30°. Следовательно, ∠AKC = 180° - 90° - 30° = 60°.

Теперь рассмотрим треугольник AKB:

∠KAB = 30°, ∠B = 30°.

Так как углы при основании AK равны, то треугольник AKB — равнобедренный. Следовательно, BK = AB.

Это ошибка. Треугольник AKB равнобедренный, так как углы при основании AK равны 30°. Но AK не является основанием. Основанием является сторона AB, а углы при основании AK равны 30°.

Давайте пересмотрим.

В треугольнике AKC:

∠C = 90°, ∠CAK = 30°, ∠AKC = 60°.

В треугольнике ABC:

∠C = 90°, ∠A = 60°, ∠B = 30°.

AK — биссектриса. По свойству биссектрисы:

BK / KC = AB / AC.

В прямоугольном треугольнике ABC:

AC = AB * cos(60°) = AB * 1/2

BC = AB * sin(60°) = AB * √3 / 2

BK / KC = AB / (AB * 1/2) = AB / (AB/2) = 2

Значит, BK = 2 * KC.

У нас есть BC = BK + KC.

AB * √3 / 2 = 2 * KC + KC = 3 * KC

KC = (AB * √3) / 6.

BK = 2 * KC = 2 * (AB * √3) / 6 = (AB * √3) / 3.

Теперь найдем AK.

В треугольнике AKC:

CK = AC * tan(30°) = (AB/2) * (1/√3) = AB / (2√3).

AK = AC / cos(30°) = (AB/2) / (√3/2) = AB / √3.

По условию AK - CK = 8.

(AB / √3) - (AB / (2√3)) = 8

(2AB - AB) / (2√3) = 8

AB / (2√3) = 8

AB = 16√3.

Теперь найдем BK:

BK = (AB * √3) / 3 = (16√3 * √3) / 3 = (16 * 3) / 3 = 16.

Ответ: ВК = 16 см.