Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
5. В треугольнике MNF известно, что ∠N = 90°, ∠M = 30°, отрезок FD — биссектриса треугольника. Найдите катет MN, если FD = 20 см.
Ответ:
Краткая запись:
- ╀ MNF: ∠ N = 90°, ∠ M = 30°.
- FD — биссектриса.
- FD = 20 см.
- Найти: MN — ?
Краткое пояснение: Сначала найдем угол F в ╀ MNF. Затем, используя свойство биссектрисы, найдем углы, на которые она делит ∠ F. В ╀ NFD, зная FD и углы, найдем NF, а затем MN.
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Найдем ∠ F в ╀ MNF. Сумма углов треугольника равна 180°. \( ∠ F = 180° - ∠ N - ∠ M = 180° - 90° - 30° = 60° \).
- Шаг 2: FD — биссектриса ∠ F, значит, делит его пополам: \( ∠ NFD = ∠ DFM = ∠ F / 2 = 60° / 2 = 30° \).
- Шаг 3: Рассмотрим ╀ NFD. У нас есть ∠ N = 90°, ∠ NFD = 30°, FD = 20 см.
- Шаг 4: В ╀ NFD, ∠ DNF = 180° - 90° - 30° = 60°.
- Шаг 5: В ╀ NFD, FD — гипотенуза (так как лежит напротив прямого угла N). FD = 20 см.
- Шаг 6: Найдем катет NF, который лежит напротив угла ∠ NFD = 30°. Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы: \( NF = FD / 2 = 20 см / 2 = 10 см \).
- Шаг 7: Теперь рассмотрим ╀ MNF. Мы знаем, что ∠ N = 90°, ∠ M = 30°, а NF = 10 см.
- Шаг 8: В ╀ MNF, NF — катет, лежащий напротив угла ∠ M = 30°.
- Шаг 9: Найдем катет MN. Используем соотношение тангенса: \( an(∠ M) = rac{NF}{MN} \). \( an(30°) = rac{10}{MN} \). \( rac{1}{√ 3} = rac{10}{MN} \).
- Шаг 10: Выражаем MN: \( MN = 10 √ 3 \) см.
Ответ: \( 10√ 3 \) см.
Похожие
