5. В цепи, состоящей из резистора сопротивлением 5 кОм, катушки с индуктивностью 1 Гн и конденсатора емкостью 2 пФ, происходят колебания с частотой 100 кГц. Определить активную и реактивную составляющую сопротивление цепи.

Решение:

Полное сопротивление цепи (импеданс) Z в цепи переменного тока складывается из активного сопротивления R и реактивного сопротивления X:

• \[ Z = \sqrt{R^2 + X^2} \]

Реактивное сопротивление цепи X в данном случае является суммой индуктивного сопротивления \(X_L\) и емкостного сопротивления \(X_C\):

• \[ X = X_L - X_C \]

1) Индуктивное сопротивление \(X_L\):

• \[ X_L = \omega L \]

где ω - угловая частота колебаний.

Найдем угловую частоту:

• \[ \omega = 2\pi
  u \]
• \[
  u = 100 \text{ кГц} = 100 \cdot 10^3 \text{ Гц} = 10^5 \text{ Гц} \]
• \[ \omega = 2\pi \cdot 10^5 \text{ рад/с} \]

Индуктивность:

• \[ L = 1 \text{ Гн} \]

Вычислим \(X_L\):

• \[ X_L = (2\pi \cdot 10^5 \text{ рад/с}) \cdot 1 \text{ Гн} = 2\pi \cdot 10^5 \text{ Ом} \approx 6,28 \cdot 10^5 \text{ Ом} = 628 \text{ кОм} \]

2) Емкостное сопротивление \(X_C\):

• \[ X_C = \frac{1}{\omega C} \]

Емкость:

• \[ C = 2 \text{ пФ} = 2 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} \]

Вычислим \(X_C\):

• \[ X_C = \frac{1}{(2\pi \cdot 10^5 \text{ рад/с}) \cdot (2 \cdot 10^{-12} \text{ Ф})} = \frac{1}{4\pi \cdot 10^{-7}} \text{ Ом} = \frac{10^7}{4\pi} \text{ Ом} \]
• \[ X_C \approx \frac{10^7}{4 \cdot 3,14159} \approx \frac{10^7}{12,566} \approx 0,7958 \cdot 10^6 \text{ Ом} = 795,8 \text{ кОм} \]

3) Реактивное сопротивление цепи X:

• \[ X = X_L - X_C = 6,28 \cdot 10^5 \text{ Ом} - 7,958 \cdot 10^5 \text{ Ом} = -1,678 \cdot 10^5 \text{ Ом} = -167,8 \text{ кОм} \]
• (Знак минус означает, что в данном случае емкостное сопротивление преобладает над индуктивным).

4) Активное сопротивление цепи R:

Активное сопротивление цепи равно сопротивлению резистора:

• \[ R = 5 \text{ кОм} = 5000 \text{ Ом} \]

5) Полное сопротивление цепи Z:

• \[ Z = \sqrt{R^2 + X^2} = \sqrt{(5000)^2 + (-167800)^2} \]
• \[ Z = \sqrt{25000000 + 28156840000} = \sqrt{28181840000} \]
• \[ Z \approx 167871 \text{ Ом} \approx 167,9 \text{ кОм} \]

Активная составляющая сопротивления цепи - это активное сопротивление R.

Реактивная составляющая сопротивления цепи - это модуль реактивного сопротивления |X|.

Ответ:

• Активное сопротивление цепи: 5 кОм.
• Реактивное сопротивление цепи: |X| = |167.8 кОм| = 167.8 кОм.