5. В ёмкость в форме кубоида длиной 90 см, шириной 45 см и высотой 30 см поместили несколько кубов, рёбра которых являются целыми числами (см). а) Какой может быть наибольшая длина ребра куба? б) Каким может быть наибольший объём каждого куба? в) Какое наименьшее число кубов можно поместить в ёмкость?

Предполагается, что кубы одинаковые и полностью заполняют ёмкость без промежутков.

а) Длина ребра куба должна делить каждое измерение ёмкости. Наибольший возможный размер равен НОД(90, 45, 30) = 15 см.

б) Наибольший объём куба: 15 × 15 × 15 = 3375 см³.

в) При ребре 15 см вдоль длины поместится 90 ÷ 15 = 6 кубов, вдоль ширины — 45 ÷ 15 = 3, вдоль высоты — 30 ÷ 15 = 2. Всего 6 × 3 × 2 = 36 кубов. Кубы большего размера не подходят, поэтому это наименьшее количество.

Ответ: а) 15 см; б) 3375 см³; в) 36 кубов.